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剪刀下的莫比乌斯带
杨凡   
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先看评语
· 莫比乌斯带是一个大部分人既陌生又熟悉的内容,本文选择了多种莫比乌斯带相关的变形进行科普,以一个熟悉的内容引出更深入的、扩展性的知识,在选题上十分有想法。但就科普的内容本身来说,数学逻辑推导本身需要读者有一定的数学功底,此外,展示莫比乌斯带的变化,文章的形式不是最合适的,视频等动态形式在展示这个内容时更具优势。未来在创作科普作品时是可以尝试对内容和形式的匹配有所考量。 · 莫比乌斯环是一个有意思的科学现象,文中提到的剪刀和纸也是认知这一现象有效的方法。但文章总体的可读性有所欠缺,作者可以在文章的通俗性和文学性上再下下功夫。 · 对于数学着迷的读者来说,此文言之有趣。数字证明里的逻辑更有一种曲线之美。但如若数字能够和文字自如转换,对于大众群体也能幻醒对数学和逻辑的热望。如此,科普的立场就会呈现新的高度。 · 莫比乌斯带是经典的趣味数学,吸引过许多人。作者试图通过折叠剪切方式把蕴含在其中的知识点作展示的同时也想把这一经典趣味数学的魅力带给读者。作为数学专业背景的作者,本文在科学性上没有问题,但是有趣性上仍需下大力气。目前的文稿尽管作者做了努力,但仍使非专业读者难入其门。如果能少用一些公式,增加一点比喻或故事,本文的可看性会增加很多。 · 作者显然有扎实的科学素养功底,解释说明缜密详实。但文章虽科学意味十足,通俗性却稍有欠缺,通篇给人数学证明的感觉。如果能发挥自己的文学创作,在虚构的故事情节中进行阐述,文章就能达到很好的科普效果。

【摘要】莫比乌斯带想必大家都不陌生,但是你知道将其从1/2的地方剪开会变成什么吗?1/3的地方呢?如果剪的是绕了n个半圈的莫比乌斯带呢?如果剪的是组合莫比乌斯带呢?

剪刀下的莫比乌斯带

“莫比乌斯带”这个词,大家一定不陌生——将一根纸带扭转180度后两头再粘连起来,形成的纸带圈就叫做莫比乌斯带。
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莫比乌斯最初于1858年,由德国数学家奥古斯特·莫比乌斯和约翰·利斯汀独立发现。与环形曲面不同的是,莫比乌斯带只有一条边和一个面,因此用它制作的传送带,磨损更加均匀,使用寿命更长。莫比乌斯带也被用来制作针式打印机的色带,从而可以节约材料。奥运奖牌、工作牌的带子设计成莫比乌斯带,奖牌就能服帖地平置于胸前。利用莫比乌斯带制成的磁带可以使播放时间增加一倍,而且不用翻面。无感电阻、莫比乌斯共振器等电子器件也是利用了其性质。至今,莫比乌斯带已经被广泛应用在雕塑﹑绘画﹑邮票﹑建筑﹑音乐﹑电影﹑文学﹑游戏等许多领域。

在数学上,莫比乌斯带没有正面与反面之分,属于不可定向曲面的一种。它为现代几何分支——拓扑学的发展起了重要作用。事实上,莫比乌斯带本身就有着很多神奇的性质。


一﹑n等分莫比乌斯带

想一想,如果我们将莫比乌斯带的宽度2等分,然后从中剪开,结果会变成两根纸带吗?答案可能与大多数人的直觉大相径庭——是一根绕了4个半圈的纸带。

那么,如果把莫比乌斯带n等分,会得到什么呢?

为了叙述方便,下面把绕了k(k≥0)个半圈的纸带记为Mk。特别的,M1就是莫比乌斯带,而M0则是纸环。

实验发现:

若n=2,结果是1个M4;若n=3,结果是1个M4,1个M1;

若n=4,结果是2个M4;若n=5,结果是2个M4,1个M1;

不难发现:n每增加2,结果就比之前多1个M4。

这一规律对任意的n是否都成立呢?

其实不难理解,答案是肯定的。分成的份数每增加2,可以理解为先沿着边缘剪了一刀,即相当于把纸带三等分。因此最后会增加1个M4。

这里给读者留个问题,用将n张相同的纸条叠在一起,一端扭转180°之后,把这n组端头依次用胶水粘在一起,制作一个“n层的莫比乌斯带”,其结构与n等分莫比乌斯带的结果拓扑等价吗?为什么呢?


二、2等分绕了k个半圈的纸带

在n等分莫比乌斯带(M1)之后,我们会很自然的想到n等分绕了k个半圈的纸带(Mk)。不过本文只探究2等分的情况,感兴趣的读者可以自行探究更一般的情况。

实验发现:

若k=1,结果是1个M4;若k=2,结果是2个M2;

若k=3,结果是1个M8;若k=4,结果是2个M4;

若k=5,结果是1个M12;若k=6,结果是2个M6;

发现什么规律了吗?

我们发现:如果k是奇数,会得到1个M(2k+2);如果k是偶数,会得到2个Mk。这一规律对任意的k是否都成立呢?

答案仍然是肯定的。假如我们把纸带以1/2为界涂成红、蓝两种颜色,当在扭了奇数个半圈之后,红色的端头会连接蓝色,蓝色的端头会连接红色,因此,结果只有1根纸带。那么,为什么k每增加2,扭转半圈数会增加4呢?可以这样理解:上下两半都多拧了2个半圈,叠加在一起,就是4个半圈。

反之,当在扭了偶数个半圈之后,红色的端头连接的依然是红色端头,如果这时候将纸带裁成两半,必然会得到红、蓝两根纸带,而且其各自的扭转圈数与总的扭转圈数相同。


三、2等分组合莫比乌斯带

前面我们都是等分一条纸带,如果等分的是组合在一起的两条莫比乌斯带(M1)或纸环(M0),结果又会怎么样呢?

1)如果我们分别把两个M0,M1与M0,两个M1平行放置,并把其中一小段粘连在一起(分别记作M0+M0、M0+M1、M1+M1),然后按照下图的方式沿着两条带子的中间剪一刀,结果会得到什么呢?

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结果发现,第一种情况会得到M0+M0和M0;第二种情况会得到M0+M4;第三种情况,如果两个M1的扭转方向不同,会得到M0+M0;如果相同,会得到M2+M2,并且这两个M2是互相套在一起的。

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上图是荷兰著名版画家埃舍尔的《骑士》,这一结构是将M2的上下两条边部分相连得到的。把其从中间一分为二,得到两个扭转方向相同的莫比乌斯带,因此这一结构其实就是M1+M1。

2)如果我们分别把两个M0,M1与M0,两个M1垂直粘连在一起(分别记作M0×M0、M0×M1、M1×M1),并从正中间剪开,结果会得到什么呢?

结果发现,前两者均得到一个正方形纸环(M0)。而第三者,如果两个M1的扭转方向相同,会得到两条船(M0);如果不同,会得到两个套在一起的心形纸带(M2)。

关于莫比乌斯带,可以探究的问题还有很多,例如n等分Mk、n等分M(k1)+M(k2)、n等分M(k1)×M(k2),还有纸带之间互相嵌套的情况等等。除此之外,笔者再提出一些问题供广大读者探究:这里的加法和乘法,它们是否满足交换律、结合律或分配律?这两种运算能描述什么样的曲面结构?能否对其做改进,使其能描述尽可能多的曲面结构?

最后提一下,如果将两个相同的莫比乌斯带的边完全粘合在一起,将会得到著名的克莱因瓶(实际上这样的操作无法在三维空间中实现,因此克莱因瓶只存在于四维及以上的空间中)。克莱因瓶是一个非常奇特的结构,因数学家F.克莱因最先发现而命名。它只有一个面,没有边。一只苍蝇可以从它的外部飞到它的内部,而无需穿过其边界。

拿起你手中的纸和剪刀,与这个有趣的带子来一番邂逅吧!

参考资料:

1.十万个为什么·数学卷,少年儿童出版社,p118-119

-完-
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剪刀下的莫比乌斯带
杨凡

学校:上海四季教育培训有限公司

学历:本科

专业:经济学

职业:数学老师

评委点评 评语汇总

莫比乌斯带是一个大部分人既陌生又熟悉的内容,本文选择了多种莫比乌斯带相关的变形进行科普,以一个熟悉的内容引出更深入的、扩展性的知识,在选题上十分有想法。但就科普的内容本身来说,数学逻辑推导本身需要读者有一定的数学功底,此外,展示莫比乌斯带的变化,文章的形式不是最合适的,视频等动态形式在展示这个内容时更具优势。未来在创作科普作品时是可以尝试对内容和形式的匹配有所考量。

2019-09-26 23:53 匿名 ——

莫比乌斯环是一个有意思的科学现象,文中提到的剪刀和纸也是认知这一现象有效的方法。但文章总体的可读性有所欠缺,作者可以在文章的通俗性和文学性上再下下功夫。

2019-09-11 23:39 匿名 ——

对于数学着迷的读者来说,此文言之有趣。数字证明里的逻辑更有一种曲线之美。但如若数字能够和文字自如转换,对于大众群体也能幻醒对数学和逻辑的热望。如此,科普的立场就会呈现新的高度。

2019-09-09 10:05 匿名 ——

莫比乌斯带是经典的趣味数学,吸引过许多人。作者试图通过折叠剪切方式把蕴含在其中的知识点作展示的同时也想把这一经典趣味数学的魅力带给读者。作为数学专业背景的作者,本文在科学性上没有问题,但是有趣性上仍需下大力气。目前的文稿尽管作者做了努力,但仍使非专业读者难入其门。如果能少用一些公式,增加一点比喻或故事,本文的可看性会增加很多。

2019-09-08 22:07 江世亮 ——

作者显然有扎实的科学素养功底,解释说明缜密详实。但文章虽科学意味十足,通俗性却稍有欠缺,通篇给人数学证明的感觉。如果能发挥自己的文学创作,在虚构的故事情节中进行阐述,文章就能达到很好的科普效果。

2019-09-07 10:36 匿名 ——

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